Elementy teorii mnogości

Opis produktu

Monografia zawiera najważniejsze elementy aksjomatycznej teorii mnogości Zermelo-Fraenkla z aksjomatem wyboru: aksjomatykę, definicje podstawowych pojęć, teorie relacji binarnych, częściowo porządkujących, równoważnościowych, funkcji, liczb porządkowych oraz liczb kardynalnych. Powstała na podstawie wieloletnich wykładów prowadzonych przez autora dla studentów filozofii Uniwersytetu Łódzkiego. Nie wymaga więc gruntownego przygotowania matematycznego, wystarcza pewne „wyrobienie” logiczne w zakresie umiejętności dowodzenia twierdzeń, a właściwie znajomość takich stałych logicznych, jak spójniki boolowskie i kwantyfikatory. Może służyć nie tylko matematykom i studentom matematyki, lecz także humanistom chcącym ugruntować swoją wiedzę o zbiorach, wykorzystywaną często w różnych zabiegach formalizacyjnych. Tym bardziej, że pewne wątki mają charakter filozoficzny, m.in. dyskusje na temat aksjomatu regularności i pojęcia ufundowania zbioru, relacji równoważnościowej, liczby porządkowej czy aksjomatu wyboru.

Komentarze

Spis treści

Wstęp 7
§1. Wprowadzenie do zagadnień teorii mnogości 7

Rozdział 1. Aksjomatyka ZFC i podstawowe pojęcia teoriomnogościowe 11
§1. Aksjomaty teorii mnogości 11
§2. Inkluzja zbiorów 15
§3. Zbiór pusty 17
§4. Zbiór potęgowy danego zbioru 18
§5. Suma zbioru 20
§6. Para zbiorów, zbiór jednoelementowy 21
§7. Suma dwóch zbiorów 22
§8. Zbiór n-elementowy 23
§9. Iloczyn dwóch zbiorów 23
§10. Różnica zbiorów, dopełnienie zbioru 24
§11. Przekrój zbioru niepustego 26
§12. Ciało zbiorów 27
§13. Algebra Boole’a 31

Rozdział 2. Zbiory nieufundowane. Aksjomat regularności 33
§1. Zbiory niemające elementu minimalnego 33
§2. Zbiory nieufundowane i ufundowane 36
§3. Dwie istotne własności zbiorów ufundowanych 41
§4. Aksjomat regularności i jego konsekwencje 42

Rozdział 3. Relacje binarne 45
§1. Para uporządkowana. Produkt kartezjański dwóch zbiorów 45
§2. Pojęcie relacji binarnej 47
§3. Operacje na relacjach binarnych 48
§4. Relacje porządkujące 51
§5. Tranzytywne domknięcie relacji binarnej 53

Rozdział 4. Funkcje 57
§1. Funkcja jako relacja binarna. Złożenie funkcji 57
§2. Bijekcja, funkcja odwrotna 58
§3. Obraz i przeciwobraz zbioru 61
§4. Rodziny indeksowane 63

Rozdział 5. Zbiory częściowo uporządkowane 65
§1. Pojęcie zbioru częściowo uporządkowanego, elementy największy i najmniejszy oraz maksymalny i minimalny 65
§2. Zbiór liniowo uporządkowany, lemat Kuratowskiego-Zorna 68
§3. Pojęcie kraty 70
§4. Izomorfizm zbiorów częściowo uporządkowanych 74

Rozdział 6. Relacje równoważnościowe 79
§1. Krata relacji równoważności 79
§2. Klasa abstrakcji, zbiór ilorazowy, podział zbioru 82
§3. Relacje równoważności a podziały 85
§4. Relacje równoważności a funkcje 88

Rozdział 7. Liczby naturalne 91
§1. Arytmetyka elementarna 91
§2. Arytmetyka liczb naturalnych z dodawaniem i mnożeniem 93
§3. Pewne metalogiczne własności arytmetyk liczb naturalnych 96
§4. Operacja następnika w teorii ZFC 99
§5. Interpretacji arytmetyki elementarnej w teorii ZFC 102

Rozdział 8. Pojęcie liczby porządkowej 107
§1. Liczby naturalne a liczby porządkowe 107
§2. Zbiory tranzytywne 110
§3. Liczba naturalna jako liczba porządkowa 112
§4. Warianty definicyjne dla pojęcia liczby porządkowej 113
§5. Twierdzenie o indukcji pozaskończonej 118
§6. Spójność relacji  oraz relacja inkluzji dla liczb porządkowych 119
§7. Najmniejsza liczba porządkowa x taka, że φ(x) 122

Rozdział 9. Zbiory liczb porządkowych. Liczby porządkowe izolowane i graniczne 125
§1. Kresy względem  dowolnego zbioru liczb porządkowych 125
§2. Kresy względem  dowolnego zbioru liczb porządkowych 127
§3. Suma następnika i następnik sumy dowolnego zbioru liczb porządkowych 130
§4. Liczby porządkowe izolowane i graniczne 132
§5. Niepuste liczby porządkowe graniczne 140

Rozdział 10. Ciągi pozaskończone. Aksjomat wyboru 143
§1. Ciąg pozaskończony 143
§2. Funkcja definiowana przez indukcję pozaskończoną 144
§3. Aksjomat wyboru, funkcja wyboru 151
§4. Funkcja definiowana przez indukcję pozaskończoną wyznaczona przez funkcję wyboru dla dowolnego zbioru 156
§5. Funkcja definiowana przez indukcję pozaskończoną wyznaczona przez funkcję wyboru zbioru liczb porządkowych 161

Rozdział 11. Liczby kardynalne 163
§1. Równoliczność zbiorów 163
§2. Liczba kardynalna zbioru 164
§3. Liczby kardynalne liczb porządkowych 172
§4. Liczby kardynalne większe od ω 176

Bibliografia 179

Komentarze